Eine spontane Aufgabe …

… und ein erster MatJax-Test in WordPress.

Pfingsten ist nicht mehr weit und ich wollte nicht noch mit einem neuen Thema in Mathe beginnen. Da viel fiel mir eine Aufgabe ein:

Gegeben sind die beiden Punkte $$P(2|6)$$ und $$Q(-4|4)$$.

  1. Finde eine quadratische Funktion $$y=ax^2 + bx + c$$, deren Graph durch diese beiden Punkte läuft.
  2. Finde noch eine (andere) Funktion, deren Graph durch diese beiden Punkte läuft.
  3. (optional) Finde noch eine (andere) Funktion, deren Graph durch diese beiden Punkte läuft.
  4. Finde eine Möglichkeit, alle Funktionen zu finden, die durch diese beiden Punkte laufen.

Die SuS sehen sehr schnell, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine quadratische Funktion durch zwei Punkte laufen zu lassen. Das Finden läuft dann auf das Lösen eines Linearen Gleichungssystems (LGS) hinaus, bei dem mit zwei Gleichungen drei Variablen gesucht werden.

Die SuS haben also die Wahl, einen der Parameter $$a$$, $$b$$ oder $$c$$ selbst zu bestimmen. Die beiden anderen ergeben sich. Die meisten entscheiden sich für die Vorgabe von $$a$$, da sie sich darunter am einfachsten etwas vorstellen können (Öffnung).

Einige wählen auch $$c$$ als Vorgabe. Das mögen sie noch von den Linearen Funktionen. Das ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.

1 bis 3 war doch recht schnell gelöst. Bei 4 waren fast alle ratlos. Ich gab ihnen den Tipp, dass $$a$$ (beispielsweise) in dem LGS so zu behandeln, als ob es eine Zahl wäre. Am Ende hängt also $$b$$ und $$c$$ von $$a$$ ab. Uhhh. Den Unterschied zwischen diesen drei Variablen hatten sie dann doch nicht so schnell begriffen.

Nach einiger Zeit und nach viel Verrechnen und Gefluche Nachdenken hatten einige das Ergebnis. Alle Ergebnisse wurden mit GeoGebra geprüft und die Verblüffung war groß, als die Parabel wirklich durch $$P$$ und $$Q$$ verlief.

Aufgabe 4 ließ sich auch mit Hilfe von GeoGebra überprüfen. Aber leider nur jeder Fall für sich allein. Also $$a$$ vorgeben, $$b$$ und $$c$$ daraus berechnen, Funktionsterm zusammenbasteln, zeichnen, überraschen lassen.

Das geht eleganter:

Das Gleichungssystem lassen wir uns von WolframAlpha lösen: Cool!

Die Lösungen $$b=2a+1/3$$ und $$c=16/3-8a$$ hatten die Schüler auch raus. Nur nicht so schnell :)

Jetzt GeoGebra: Ein $$a$$ wird beliebig festgelegt. Im Eingabebereich a=2 (Enter). $$a$$ als Schieberegler anzeigen lassen. Die beiden anderen Parameter ergeben sich aus den Lösungen und dem jetzt festgelegten $$a$$. Im Eingabebereich: b=2a+1/3 (Enter), c=16/3-8a (Enter). Nun noch die Funktion einzeichnen. Im Eingabebereich y=ax^2+bx+c. Jetzt kann man das $$a$$ mit Hilfe des Reglers einstellen, $$b$$ und $$c$$ ändern sich entsprechend und der Graph läuft immer durch die Punkte.

Schön!

Einige Schüler haben lauf aufgeschrien, als die erste selbst berechnete Parabel wirklich durch die beiden Punkte verlief. Für einige Schüler war es schlicht ein Wunder. So richtig begriffen hatten sie es nicht. Viele waren einfach nur hin und weg. Ein winziger Funken Mathematik strahlte da in unseren Augen.

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